Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-ax+a²，h（x）=ax+2，定義函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）（f（x）≥h（x））}\\{h（x）（f（x）＜h（x））}\end{array}\right.$．
（1）當(dāng)a=1時，求g（x）的解析式；
（2）當(dāng)|a-3|≤1+$\sqrt{2}$時，求函數(shù)g（x）在x∈[2，4]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入f（x），h（x），從而求出g（x）的表達式；（2）由x²-ax+a²=ax+2，得：x²-2ax+a²-2=0，求出x，結(jié)合a的范圍，從而確定出g（2）是最小值即可．

解答 解：（1）a=1時：f（x）=x²-x+1，h（x）=x+2，
由f（x）-h（x）=x²-2x-1≥0，解得：x≥1+$\sqrt{2}$或x≤1-$\sqrt{2}$，
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）（f（x）≥h（x））}\\{h（x）（f（x）＜h（x））}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x+1，x∈（-∞，1-\sqrt{2]∪[1+\sqrt{2}}，+∞）}\\{x+2，x∈（1-\sqrt{2}，1+\sqrt{2}）}\end{array}\right.$；
（2∵|a-3|≤1+$\sqrt{2}$，∴2-$\sqrt{2}$≤a≤4+$\sqrt{2}$，
f（x）=${（x-\frac{a}{2}）}^{2}+{\frac{3}{4}a}^{2}$，
由x²-ax+a²=ax+2，得：x²-2ax+a²-2=0，
∴x=1±$\frac{\sqrt{2}}{a}$，而2-$\sqrt{a}$≤a≤4+$\sqrt{2}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}-1}{7}$≤$\frac{\sqrt{2}}{a}$≤1$+\sqrt{2}$，
∴1+$\frac{\sqrt{2}}{a}$∈[$\frac{2\sqrt{2}+6}{7}$，2+$\sqrt{2}$]，
1-$\frac{\sqrt{2}}{a}$∈[-$\sqrt{2}$，$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}$]，而2＞$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}$，
∴g（x）在[2，4]上的最小值是g（2）=2a+2．

點評 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查函數(shù)的最值問題，是一道中檔題．