Question

17．如圖，在直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=-$\frac{2}{3}$x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸交于A（-3，0），與y軸交于點C．以直線x=-1為對稱軸的拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a＞0）經(jīng)過A、C兩點，與x軸正半軸交于點B．
（1）求一次函數(shù)及拋物線的函數(shù)表達式．
（2）已知在對稱軸上是否存在一點P，使得△PBC的周長最小，若存在，請求出點P的坐標．
（3）點D是線段OC上的一個動點（不與點O、點C重合），過點D作DE‖PC交x軸于點E，連接PD、PE．設(shè)CD的長為m，△PDE的面積為S．求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．并說明S是否存在最大值，若存在，請求出最大值：若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）運用代入法，可得直線AC的方程；設(shè)拋物線的方程為y=a（x+3）（x-1），代入點（0，-2），即可得到拋物線方程；
（2）要使△PBC周長最大，只需BP+CP最小即可，由軸對稱性質(zhì)以及兩點間線段最短，可知此時BP+CP最�。�
（3）運用三角形的面積公式和割補法，可得S，m的關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，即可得到最大值．

解答 解：（1）y=-$\frac{2}{3}$x+m過點A（-3，0），
則m+2=0，解得m=-2，
則直線AC：y=-$\frac{2}{3}$x-2；
由C（0，-2），
拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為x=-1，
且與x軸交于A（-3，0），另一交點為B（1，0），
設(shè)拋物線的方程為y=a（x+3）（x-1），
代入點（0，-2），可得a=$\frac{2}{3}$，
即有拋物線的方程為y=$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x-2；
（2）要使△PBC周長最大，只需BP+CP最小即可，如圖1，
連AC交x=-1于P點，由A，B關(guān)于直線x=-1對稱，
由軸對稱性質(zhì)以及兩點間線段最短，可知此時BP+CP最小，
（BP+CP最小即為AC的長），
由A（-3，0），C（0，-2），AC：y=-$\frac{2}{3}$x-2，
由x_P=-1，則y_P=-$\frac{4}{3}$，P（-1，-$\frac{4}{3}$）；
（3）如圖2，設(shè)CD=m，△PDE的面積為S，D（0，m-2），
DE∥PC，AC：y=-$\frac{2}{3}$x-2，設(shè)DE：y=-$\frac{2}{3}$x+m-2，
當y=0時，x=$\frac{3}{2}$m-3，即D（$\frac{3}{2}$m-3，0），
S_△PDE=S_△AOC-S_△DOE-S_△PDC-S_△PEA
=3-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{2}$m•$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{2}$（3-$\frac{3}{2}$m）（2-m）-$\frac{1}{2}$m•1=-$\frac{3}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m
=-$\frac{3}{4}$（m-1）²+$\frac{3}{4}$，
當m=1時，取得最大值，且為$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的方程的求法，同時考查三角形的周長的最小和面積的最大，注意運用對稱性和二次函數(shù)的最值求法是解題的關(guān)鍵．