Question

2．已知數(shù)列{a_n}中的相鄰兩項(xiàng)a_2k-1，a_2k是關(guān)于x的方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的兩個(gè)根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）
（1）求a₁，a₃，a₅，a₇；
（2）求數(shù)列{a_n}的前2n項(xiàng)和S_2n；
（3）記$f（n）=\frac{1}{2}（\frac{|sinn|}{sinn}+3）$，${T_n}=\frac{{{{（-1）}^{f（2）}}}}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{{{{（-1）}^{f（3）}}}}{{{a_3}{a_4}}}+\frac{{{{（-1）}^{f（4）}}}}{{{a_5}{a_6}}}+…+\frac{{{{（-1）}^{f（n+1）}}}}{{{a_{2n-1}}{a_{2n}}}}$，求T_n的最值．

Answer 1

分析 （1）方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的兩個(gè)根為：x₁=3k，x₂=2^k．根據(jù)兩項(xiàng)a_2k-1，a_2k是此方程的兩個(gè)根，且a_2k-1≤a_2k，即可得出．
（2）S_2n=a₁+a₂+…+a_2n=3×（1+2+…+n）+（2+2²+…+2ⁿ），分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
（3）由于$f（n）=\frac{1}{2}（\frac{|sinn|}{sinn}+3）$=$\left\{\begin{array}{l}{2，2kπ＜n＜2kπ+π}\\{1，2kπ+π＜n＜2kπ+2π}\end{array}\right.k∈N$，據(jù)此對(duì)T_n進(jìn)行化簡(jiǎn)．

解答 解：（1）方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的兩個(gè)根為：x₁=3k，x₂=2^k．
∵兩項(xiàng)a_2k-1，a_2k是此方程的兩個(gè)根，且a_2k-1≤a_2k，
當(dāng)k=1時(shí)，x₁=3，x₂=2．∴a₁=2；
當(dāng)k=2時(shí)，x₁=6，x₂=4．∴a₃=4；
當(dāng)k=3時(shí)，x₁=9，x₂=8．∴a₅=8；
當(dāng)k=4時(shí)，x₁=12，x₂=16．∴a₇=12．
（2）S_2n=a₁+a₂+…+a_2n
=3×（1+2+…+n）+（2+2²+…+2ⁿ）=$\frac{3n（n+1）}{2}$+$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=$\frac{3{n}^{2}+3n}{2}$+2ⁿ⁺¹-2．
（3）∵$f（n）=\frac{1}{2}（\frac{|sinn|}{sinn}+3）$=$\left\{\begin{array}{l}{2，2kπ＜n＜2kπ+π}\\{1，2kπ+π＜n＜2kπ+2π}\end{array}\right.k∈N$
∴${T_n}=\frac{{{{（-1）}^{f（2）}}}}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{{{{（-1）}^{f（3）}}}}{{{a_3}{a_4}}}+\frac{{{{（-1）}^{f（4）}}}}{{{a_5}{a_6}}}+…+\frac{{{{（-1）}^{f（n+1）}}}}{{{a_{2n-1}}{a_{2n}}}}$=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$-$\frac{1}{{a}_{5}{a}_{6}}$+…+$\frac{（-1）^{f（n+1）}}{{a}_{2n-1}{a}_{2n}}$，
∴T₁=$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{6}$，T₂=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$=$\frac{5}{24}$．
當(dāng)n≥3時(shí)，T_n≥$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$-$（\frac{1}{{a}_{5}{a}_{6}}+\frac{1}{{a}_{7}{a}_{8}}+…+\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n}}）$$≥\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6•{2}^{2}}$-$\frac{1}{6}（\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6×{2}^{n}}$$＞\frac{1}{6}$，
同理可得：T_n=$\frac{5}{24}$-$\frac{1}{{a}_{5}{a}_{6}}$-$\frac{1}{{a}_{7}{a}_{8}}$+…+$\frac{（-1）^{f（n+1）}}{{a}_{2n-1}{a}_{2n}}$≤$\frac{5}{24}$-$\frac{1}{{a}_{5}{a}_{6}}$+$（\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n}}）$≤$\frac{5}{24}$-$\frac{1}{9×{2}^{3}}$+$\frac{1}{9}（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$=$\frac{5}{24}-\frac{1}{9•{2}^{n}}$＜$\frac{5}{24}$．
綜上可得：$\frac{1}{6}$≤T_n≤$\frac{5}{24}$．
∴T_n的最小值與最大值分別為：$\frac{1}{6}$；$\frac{5}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系、“放縮法”、不等式的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．