Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{bx+a}{{1+{x^2}}}$是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且$f（\frac{1}{3}）=\frac{3}{10}$．
（1）確定f（x）的解析式；
（2）證明：f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)，從而有f（0）=0，再由$f（\frac{1}{3}）=\frac{3}{10}$便可求出a=0，b=1，從而得出$f（x）=\frac{x}{1+{x}^{2}}$；
（2）根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式x₂-x₁，從而可以證明f（x₂）＞f（x₁），這便可得出f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)．

解答 解：（1）依題意得，f（0）=0且$f（\frac{1}{3}）=\frac{3}{10}$，即$\frac{a}{1+0}=0$且$\frac{{\frac{3}+a}}{{1+\frac{1}{9}}}=\frac{3}{10}$；
解得a=0，b=1；
∴$f（x）=\frac{x}{{1+{x^2}}}$；
（2）證明：設(shè)x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，則：
$f（{x_2}）-f（{x_1}）=\frac{x_2}{{1+{x_2}^2}}-\frac{x_1}{{1+{x_1}^2}}=\frac{{（{x_2}-{x_1}）（1-{x_1}{x_2}）}}{{（1+{x_1}^2）（1+{x_2}^2）}}$；
∵-1＜x₁＜x₂＜1；
∴x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＞0，$（1+{x_1}^2）（1+{x_2}^2）$＞0；
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）；
∴f（x）是（-1，1）上的增函數(shù)．

點評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)f（x）在原點有定義時，f（0）=0，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₂-x₁．