Question

1．設f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{x-1}$滿足f（-x）=-f（x），a為常數(shù)．
（1）求a的值；
（2）證明：f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（3）若對于[3，4]上的每一個x的值，不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{x-1}$滿足f（-x）=-f（x），結合對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得a值；
（2）任取x₁＞x₂＞1，判斷f（x₁），f（x₂）的大小，結合函數(shù)單調(diào)性的定義，可得f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（3）若對于[3，4]上的每一個x的值，不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+m恒成立，令g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x，則g（x）_min＞m，結合（2）中單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，可得m的范圍．

解答 解：（1）∵f（-x）=-f（x），
∴${log}_{\frac{1}{2}}\frac{1+ax}{-x-1}=-{log}_{\frac{1}{2}}\frac{1-ax}{x-1}$=${log}_{\frac{1}{2}}\frac{x-1}{1-ax}$，
∴$\frac{1+ax}{-x-1}$=$\frac{x-1}{1-ax}$＞0，
∴1-a²x²=1-x²，
∴a=±1．
檢驗a=1（舍），
∴a=-1．…（4分）
證明：（2）任取x₁＞x₂＞1，
∴x₁-1＞x₂-1＞0．
∴0＜$\frac{2}{x1-1}$＜$\frac{2}{x2-1}$⇒1＜1+$\frac{2}{x1-1}$＜1+$\frac{2}{x2-1}$⇒1＜$\frac{x1+1}{x1-1}$＜$\frac{x2+1}{x2-1}$⇒${log}_{\frac{1}{2}}\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}$＞${log}_{\frac{1}{2}}\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{2}-1}$．
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．…（8分）
解：（3）依題意有f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x＞m恒成立．
令g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x，
則g（x）_min＞m．…（10分）
易知g（x）在[3，4]上是增函數(shù)，
∴g（x）_min=g（3）=-$\frac{9}{8}$，…（12分）
∴m＜-$\frac{9}{8}$時，原不等式在[3，4]上恒成立．…（14分）

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關鍵．