Question

6．已知函數(shù)f（x）=mlnx的圖象在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為y=x-1，g（x）=a（x-1）且關(guān)于x的不等式$f（x）＜\frac{g（x）}{2}$在（1，+∞）上恒成立．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）試比較a與（e-2）lna+2的大�。�

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得m=1，令h（x）=f（x）-$\frac{g（x）}{2}$=lnx-$\frac{1}{2}$a（x-1），x＞1，求出導(dǎo)數(shù)，討論a，可得單調(diào)性，即可得到a的范圍；
（2）設(shè)m（x）=x-2-（e-2）lnx（x≥2），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，討論x的范圍，即可比較大小．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=mlnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{m}{x}$，
由在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為y=x-1，
即有m=1，
令h（x）=f（x）-$\frac{g（x）}{2}$=lnx-$\frac{1}{2}$a（x-1），x＞1，
h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$a=$\frac{2-ax}{2x}$，x＞1
①a≤0，x＞1，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）遞增，
h（x）＞h（1）=0，a≤0不合題意；
②當(dāng)a≥2時(shí)，即0＜$\frac{2}{a}$≤1時(shí)，h′（x）＜0在（1，+∞）恒成立，
h（x）遞減，h（x）＜h（1）=0，a≥2符合題意；
③當(dāng)0＜a＜2時(shí)，即$\frac{2}{a}$＞1，由h′（x）＞0可得1＜x＜$\frac{2}{a}$；
由h′（x）＜0可得x＞$\frac{2}{a}$．h（x）在（1，$\frac{2}{a}$）遞增，在（$\frac{2}{a}$，+∞）遞減，
即有h（$\frac{2}{a}$）＞h（1）=0，則0＜a＜2不合題意．
綜上可得a≥2；
（2）設(shè)m（x）=x-2-（e-2）lnx（x≥2），m′（x）=1-$\frac{e-2}{x}$=$\frac{x+2-e}{x}$＞0，
m（x）在[2，+∞）遞增，m（e）=0，
當(dāng)x∈[2，e）時(shí)，m（x）＜0，即x-2＜（e-2）lnx，即x＜（e-2）lnx+2；
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，m（x）＞0，即x-2＞（e-2）lnx，即x＞（e-2）lnx+2．
綜上可得，當(dāng)a∈[2，e）時(shí)，a＜（e-2）lna+2；
當(dāng)a=e時(shí)，a=（e-2）lna+2；
當(dāng)a∈（e，+∞）時(shí)，a＞（e-2）lna+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和分類討論的思想方法，屬于中檔題．