Question

10．己知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，-1），$\overrightarrow$=（2sin（x+$\frac{π}{6}$），1），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求f（x）的解析表達(dá)式；
（2）求f（x）的最小正周期；
（3）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)量積和三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）由周期公式可得；
（3）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]可得三角函數(shù)函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2cosx，-1），$\overrightarrow$=（2sin（x+$\frac{π}{6}$），1），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1=4cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）-1
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∴f（x）的解析表達(dá)式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）由（1）可得f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（3）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
∴函數(shù)的值域?yàn)椋篬-1，2]

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．