Question

4．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=sin$\frac{nπ}{2}$-kn，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且{S_n}為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A． k＞1
• B． $k＞\frac{1}{3}$
• C． $k＞\frac{1}{5}$
• D． $k＞\frac{1}{9}$

Answer 1

分析 可通過前n項(xiàng)的和，結(jié)合單調(diào)遞減，解不等式可得k的范圍，再討論n為4的倍數(shù)，4的倍數(shù)余1，4的倍數(shù)余2，4的倍數(shù)余3，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：a_n=sin$\frac{nπ}{2}$-kn，
可得a₁=1-k，a₂=-2k，a₃=-1-3k，a₄=-4k，
a₅=1-5k，a₆=-6k，a₇=-1-7k，a₈=-8k，
即有S₁=1-k，S₂=1-3k，S₃=-6k，S₄=-10k，
S₅=1-15k，S₆=1-21k，S₇=-28k，S₈=-36k，
由{S_n}為遞減數(shù)列，可得S₁＞S₂＞S₃＞S₄＞S₅＞S₆＞S₇＞S₈，
即為1-k＞1-3k＞-6k＞-10k＞1-15k＞1-21k＞-28k＞-36k，
解得k＞$\frac{1}{5}$，
當(dāng)n為4的倍數(shù)時(shí)，S_n=-$\frac{1}{2}$n（n+1）k，
由S_n＞S_n+1，可得-$\frac{1}{2}$n（n+1）k＞1-$\frac{1}{2}$n（n+1）k-（n+1）k，
解得k＞$\frac{1}{n+1}$，顯然$\frac{1}{n+1}$≤$\frac{1}{5}$；
當(dāng)n為4的倍數(shù)加1時(shí)，S_n=1-$\frac{1}{2}$n（n+1）k，
由S_n＞S_n+1，可得1-$\frac{1}{2}$n（n+1）k＞1-$\frac{1}{2}$n（n+1）k-（n+1）k，
解得k＞0；
當(dāng)n為4的倍數(shù)加2時(shí)，S_n=1-$\frac{1}{2}$n（n+1）k，
由S_n＞S_n+1，可得1-$\frac{1}{2}$n（n+1）k＞1-$\frac{1}{2}$n（n+1）k-（n+1）k，
解得k＞0；
當(dāng)n為4的倍數(shù)加3時(shí)，S_n=-$\frac{1}{2}$n（n+1）k，
由S_n＞S_n+1，可得-$\frac{1}{2}$n（n+1）k＞-$\frac{1}{2}$n（n+1）k-（n+1）k，
解得k＞0．
綜上可得k的范圍是k＞$\frac{1}{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的單調(diào)性的運(yùn)用，考查等差數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．