Question

6．如圖，摩天輪的半徑OA為50m，它的最低點(diǎn)A距地面的高度忽略不計(jì)．地面上有一長(zhǎng)度為240m的景觀帶MN，它與摩天輪在同一豎直平面內(nèi)，且AM=60m．點(diǎn)P從最低點(diǎn)A處按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)到最高點(diǎn)B處，記∠AOP=θ，θ∈（0，π）．
（Ⅰ）當(dāng)θ=$\frac{2π}{3}$ 時(shí)，求點(diǎn)P距地面的高度PQ；
（Ⅱ）設(shè)y=tan∠MPN，寫(xiě)出用θ表示y的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得PQ=50-50cosθ，由三角函數(shù)的知識(shí)可得；
（Ⅱ）由題意可得tan∠NPQ和tan∠MPQ，由兩角差的正切可得y=tan（∠NPQ-∠MPQ）=$\frac{12（1-cosθ）}{23-18sinθ-5cosθ}$．令g（θ ）=$\frac{12（1-cosθ）}{23-18sinθ-5cosθ}$，θ∈（0，π），用導(dǎo)數(shù)法可得．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得PQ=50-50cosθ．
∴當(dāng)θ=$\frac{2π}{3}$ 時(shí)，PQ=50-50cos$\frac{2π}{3}$=75，
即點(diǎn)P距地面的高度為75m；
（Ⅱ）由題意可得AQ=50sinθ，
∴MQ=60-50sinθ，NQ=300-50sinθ．
又PQ=50-50cosθ，
∴tan∠NPQ=$\frac{NQ}{PQ}$=$\frac{6-sinθ}{1-cosθ}$，tan∠MPQ=$\frac{MQ}{PQ}$=$\frac{6-5sinθ}{5-5cosθ}$．
∴y=tan∠MPN=tan（∠NPQ-∠MPQ）
=$\frac{tan∠NPQ-tan∠MPQ}{1+tan∠NPQ?tan∠MPQ}$=$\frac{12（1-cosθ）}{23-18sinθ-5cosθ}$．
令g（θ ）=$\frac{12（1-cosθ）}{23-18sinθ-5cosθ}$，θ∈（0，π），
則g′（θ）=$\frac{12×18（sinθ+cosθ-1）}{（23-18sinθ-5cosθ）2}$
由g′（θ）=0，得sinθ+cosθ-1=0，解得θ=$\frac{π}{2}$．
當(dāng)θ∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，g′（θ ）＞0，g（θ ）為增函數(shù)；
當(dāng)θ∈（$\frac{π}{2}$，π）時(shí)，g′（θ ）＜0，g（θ ）為減函數(shù)，
∴當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$時(shí)，g（θ ）有極大值，也為最大值．
即當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$時(shí)，y取得最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及和差角的三角函數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，屬中檔題．