Question

14．在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）間的“L-距離”為d（A-B）=|x_A-x_B|+|y_A-y_B|．現(xiàn)將邊長為1的正三角形按如圖所示方式放置，其中頂點A與坐標(biāo)原點重合，記邊AB所在的直線斜率為k（0≤k≤$\sqrt{3}$），則d（B-C）取得最大值時，邊AB所在直線的斜率為2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意設(shè)B（cosθ，sinθ），則C（cos（θ+$\frac{π}{3}$），sin（θ+$\frac{π}{3}$）），則BC|=|cos（θ+$\frac{π}{3}$）-cosθ|+|sin（θ+$\frac{π}{3}$）-sinθ|，由角的范圍化簡|BC|，然后利用輔助角公式化積，再利用三角函數(shù)求最值得答案．

解答 解：設(shè)B（cosθ，sinθ），則C（cos（θ+$\frac{π}{3}$），sin（θ+$\frac{π}{3}$）），
∴|BC|=|cos（θ+$\frac{π}{3}$）-cosθ|+|sin（θ+$\frac{π}{3}$）-sinθ|，
∵0≤θ≤$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$≤θ+$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$＜π，即0≤θ＜θ+$\frac{π}{3}$＜π，
∴|cos（θ+$\frac{π}{3}$）-cosθ|=cosθ-cos（θ+$\frac{π}{3}$）．
∵0≤θ≤$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$≤θ+$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴|sin（θ+$\frac{π}{3}$）-sinθ|=sin（θ+$\frac{π}{3}$）-sinθ，
|BC|=cosθ-cos（θ+$\frac{π}{3}$）+sin（θ+$\frac{π}{3}$）-sinθ
=cosθ-cosθcos$\frac{π}{3}$+sinθsin$\frac{π}{3}$+sinθcos$\frac{π}{3}$+cosθsin$\frac{π}{3}$-sinθ
=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$cosθ
=$\sqrt{2}$sin（θ+φ）（tanφ=2+$\sqrt{3}$），
由θ+φ=$\frac{π}{2}+$2kπ，k∈Z，得θ=-φ+$\frac{π}{2}+$2kπ，k∈Z，
∴tanθ=tan（-φ+$\frac{π}{2}+$2kπ）=$\frac{1}{tanφ}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$，即邊AB所在直線的斜率為$2-\sqrt{3}$時，則d（B-C）取得最大值，
故答案為$2-\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的定義、兩角和與差的三角函數(shù)公式，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，綜合性強，屬于中檔題．