Question

12．已知數(shù)列a₁，a₂-a₁．a(chǎn)₃-a₂，…，a_n-a_n-1是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式：
（2）若數(shù)列b_n=2na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用累加法能求出a_n．
（2）由b_n=2na_n=n•3ⁿ-n，利用錯位相減法和分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答 解：（1）∵數(shù)列a₁，a₂-a₁．a(chǎn)₃-a₂，…，a_n-a_n-1是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，
∴a₁=1，a₂-a₁=3，a₃-a₂=3²，…，a_n-a_n-1=3^n-1，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+3+3²+…+3^n-1
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$
=$\frac{{3}^{n}}{2}-\frac{1}{2}$．
（2）∵b_n=2na_n=n•3ⁿ-n，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和：
T_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ-（1+2+3+…+n），①
3T_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹-3（1+2+3+…+n），②
①-②，得：-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹+2•$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹+n（n+1）
=$\frac{{3}^{n+1}}{2}$-$\frac{3}{2}$-n•3ⁿ⁺¹+n（n+1），
∴T_n=（$\frac{n}{2}-\frac{1}{4}$）•3ⁿ⁺¹-$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運用．