Question

9．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點(diǎn)為F₁、F₂，以線段F₁F₂為邊作正三角形MF₁F₂，若MF₁的中點(diǎn)在雙曲線上，則$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=（　�。�

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\sqrt{3}$+1
• C． 3+2$\sqrt{3}$
• D． 4+2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先根據(jù)雙曲線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)而可求得三角形的高，則點(diǎn)M的坐標(biāo)可得，進(jìn)而求得其中點(diǎn)N的坐標(biāo)，代入雙曲線方程求得a，b和c的關(guān)系式化簡整理求得關(guān)于e的方程求得e．

解答 解：依題意可知雙曲線的焦點(diǎn)為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）
∴F₁F₂=2c
∴三角形高是$\sqrt{3}$c
M（0，$\sqrt{3}$c）
所以中點(diǎn)N（-$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c）
代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，整理得：b²c²-3a²c²=4a²b²
∵c²=b²+a²
所以b⁴-6a²b²-3a⁴=0，
整理得（$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$）²-6×$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$-3=0．
求得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$3+2\sqrt{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．考查了學(xué)生對雙曲線的基礎(chǔ)知識的把握．分析問題解決問題的能力．