Question

20．已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$，且64a₁₀-a₄=0，記S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，則$\frac{{S}_{6}}{{a}_{1}-{S}_{3}}$的值為（　�。�

• A． -$\frac{21}{8}$
• B． $\frac{21}{8}$
• C． -9
• D． 9

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，由64a₁₀-a₄=0求得公比，再結(jié)合等比數(shù)列的前n項和公式得答案．

解答 解：由$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$，得${{a}_{n+1}}^{2}={a}_{n}{a}_{n+2}$，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，
則${a}_{10}={a}_{4}{q}^{6}$，代入64a₁₀-a₄=0，
得$64{a}_{4}{q}^{6}-{a}_{4}=0$，即$q=\frac{1}{2}$．
則${S}_{6}=\frac{{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{6}}）}{1-\frac{1}{2}}=2{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{6}}）$，
${S}_{3}=\frac{{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{3}}）}{1-\frac{1}{2}}=2{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{3}}）$，
∴$\frac{{S}_{6}}{{a}_{1}-{S}_{3}}$=$\frac{2{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{6}}）}{{a}_{1}-2{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{3}}）}=-\frac{21}{8}$．
故選：A．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的前n項和，是中檔題．