Question

1．設(shè)x，y，z∈[0，1]，求證：
（1）x（1-y）+y（1-x）≤1；
（2）x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）≤1．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)造函數(shù)f（x）=1-[x（1-y）+y（1-x）]=（2y-1）x+1-y，再計(jì)算f（0），f（1），結(jié)合f（x）的圖象，即可得證；
（2）證法一、構(gòu)造函數(shù)f（x）=1-[x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）]=（y+z-1）x+（yz+1-y-z），再計(jì)算f（0），f（1），結(jié)合f（x）的圖象，即可得證；
證法二、構(gòu)造邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC，在AB，BC，AC上分別取D，E，F(xiàn)，使得AD=x，BE=z，CF=y，再由S_△ADF+S_△BDE+S_△CEF＜S_△ABC，運(yùn)用面積公式計(jì)算即可得證

解答 證明：（1）構(gòu)造函數(shù)f（x）=1-[x（1-y）+y（1-x）]=（2y-1）x+1-y
∵x，y∈[0，1]，
∴f（0）=1-y≥0，
f（1）=y+（y+1-1-y）=y≥0
由于函數(shù)f（x）的圖象為一條直線，
則有當(dāng)0≤x≤1，恒有f（x）≥0成立，
故原不等式成立．
（2）證法一：構(gòu)造函數(shù)f（x）=1-[x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）]
=（y+z-1）x+（yz+1-y-z），
∵x，y，z∈[0，1]，
∴f（0）=yz+1-y-z=（1-y）（1-z）≥0，
f（1）=y+z-1+（yz+1-y-z）=yz≥0
由于函數(shù)f（x）的圖象為一條直線，
則有當(dāng)0≤x≤1，恒有f（x）≥0成立，
故原不等式成立．
證法二：構(gòu)造邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC，
在AB，BC，AC上分別取D，E，F(xiàn)，使得AD=x，BE=z，CF=y，
則BD=1-x，CE=1-z，AF=1-y，
由于S_△ADF+S_△BDE+S_△CEF≤S_△ABC，
即有$\frac{1}{2}$x（1-y）•sin60°+$\frac{1}{2}$z（1-x）•sin60°+$\frac{1}{2}$y（1-z）•sin60°≤$\frac{1}{2}$×1×1×sin60°，
即有x（1-y）+z（1-x）+y（1-z）≤1．
則原不等式成立

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查構(gòu)造法證明不等式的方法：構(gòu)造函數(shù)和構(gòu)造圖形法，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．