Question

7．已知橢圓方程C為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．（a＞b＞0）橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），離心率為e=$\frac{1}{2}$，直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且K_OAK_OB=-$\frac{3}{4}$．
（I）求橢圓的C的方程；
（Ⅱ）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意求出c，結(jié)合離心率求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A，B的橫縱坐標(biāo)的乘積，再由k_OAk_OB=-$\frac{3}{4}$得到k與m的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線的距離公式求出坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得，c=1，$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，則a=2，
∴b²=a²-c²=3，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）如圖，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（4k²-m²+3），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵k_OAk_OB=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}•\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}-\frac{8{k}^{2}{m}^{2}}{3+4{k}^{2}}+{m}^{2}}{\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}=-\frac{3}{4}$，
整理得：$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{4{m}^{2}-12}=-\frac{3}{4}$，即2m²=4k²+3．
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{16{m}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}}$
=$2\sqrt{6}\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$．
原點(diǎn)O到直線kx-y+m=0的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴△AOB的面積S=$\frac{1}{2}|AB|d=\frac{1}{2}×2\sqrt{6}\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}•\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
=$\sqrt{3}•\frac{3+4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}=\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查了直線和橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是中檔題．