Question

1．已知a，b，c∈R⁺，求證：
（1）（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）≥16abc
（2）$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{c+a-b}$+$\frac{a+b-c}{c}$≥3．

Answer 1

分析 （1）將（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）轉化為（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）=（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），再結合條件a，b，c是不全相等的正數(shù)，應用基本不等式即可．
（2）利用基本不等式，即可證明結論．

解答 證明：（1）∵ab+a+b+1=（a+1）•（b+1），ab+ac+bc+c²=（a+c）•（b+c），
∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）=（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），
∵a，b，c是正數(shù)，
∴a+1≥2$\sqrt{a}$＞0，b+1≥2$\sqrt$＞0，a+c≥2$\sqrt{ac}$＞0，b+c≥2$\sqrt{bc}$＞0，
又a，b，c是不全相等的正數(shù)，
∴（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）＞2$\sqrt{a}$×2$\sqrt$×2$\sqrt{ac}$×2$\sqrt{bc}$=16abc，
∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）＞16abc．
（2）∵a，b，c∈R⁺，
∴$\frac{a}$+$\frac{c}$+$\frac{a}{c}$≥3，$\frac{c}{a}+\frac{c}+\frac{a}$≥3，
∴$\frac{a}$+$\frac{c}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}+\frac{c}+\frac{a}$≥6，
∴$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{c+a-b}$+$\frac{a+b-c}{c}$≥3．

點評 本題考查不等式的證明，著重考查基本不等式的應用，（1）關鍵是將（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）轉化為（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），屬于中檔題．