Question

12．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，直線l與橢圓交于與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（1，1）是線段AB的中點(diǎn)，則直線l的斜率為（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． -$\frac{3}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入橢圓的方程并將得到的等式作差可得：$\frac{1}{4}$（x₁²-x₂²）+$\frac{1}{3}$（y₁²-y₂²）=0．由P為AB的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)的坐標(biāo)公式算出x₁+x₂=y₁+y₂=2，代入前面的等式并利用直線的斜率公式，即可算出直線l的斜率．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵A、B兩點(diǎn)在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}$=1，
兩式相減可得：$\frac{1}{4}$（x₁²-x₂²）+$\frac{1}{3}$（y₁²-y₂²）=0，
化簡(jiǎn)得k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$．
又∵點(diǎn)P（1，1）是AB的中點(diǎn)，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
因此可得直線l的斜率k=-$\frac{3×2}{4×2}$=-$\frac{3}{4}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題給出橢圓內(nèi)一點(diǎn)P，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且以它為中點(diǎn)的橢圓的弦所在直線的方程．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線的斜率公式和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．根據(jù)橢圓的方程，利用直線的斜率公式并采用“設(shè)而不求”的方法來(lái)解，是解決本題的關(guān)鍵所在．