Question

14．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x-y≥0\\ x+y-5≤0\\ y≥\frac{1}{4}{x^2}+\frac{1}{4}\end{array}\right.$，則 $\frac{{{{（x+y）}^2}+{y^2}}}{{{x^2}+2{y^2}}}$的取值范圍為[$\frac{13}{9}$，$\frac{5}{3}$]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)分式的性質(zhì)利用轉(zhuǎn)化法結(jié)合換元法進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
設(shè)z=$\frac{{{{（x+y）}^2}+{y^2}}}{{{x^2}+2{y^2}}}$$\frac{{x}^{2}+2xy+2{y}^{2}}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$=1+$\frac{2xy}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$=1+$\frac{2•\frac{y}{x}}{1+2•（\frac{y}{x}）^{2}}$，
設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則z=1+$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$=1+$\frac{2}{2k+\frac{1}{k}}$，
由圖象知k的最大值為k=1，
當(dāng)直線y=kx與y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$在第第一象限相切時，k取得最小值，此時k＞0，
此時$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$=kx，
即x²-kx+1=0，
由判別式△=k²-4=0得k=2或k=-2（舍），
即1≤k≤2，
設(shè)t=2k+$\frac{1}{k}$=2（k+$\frac{\frac{1}{2}}{k}$），則當(dāng)1≤k≤2，3≤t≤$\frac{9}{2}$，
則$\frac{2}{9}$≤$\frac{1}{t}$≤$\frac{1}{3}$．
則$\frac{4}{9}$≤$\frac{2}{t}$≤$\frac{2}{3}$，
則$\frac{13}{9}$≤$\frac{2}{t}$+1≤$\frac{5}{3}$，
即$\frac{13}{9}$≤$\frac{{{{（x+y）}^2}+{y^2}}}{{{x^2}+2{y^2}}}$≤$\frac{5}{3}$，
故答案為：[$\frac{13}{9}$，$\frac{5}{3}$]．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)分式的性質(zhì)，利用換元法和轉(zhuǎn)化法，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．