Question

4．在如圖所示的幾何體中，三棱錐D-ABC的各條棱長均為2，OA，OB，OC兩兩垂直，則下列說法正確的是（　�。�

• A． OA，OB，OC的長度可以不相等
• B． 直線OB∥平面ACD
• C． 直線OD與BC所成的角是45°
• D． 直線AD與OB所成的角是45°

Answer 1

分析 在A中，推導(dǎo)出△AOC≌△BOC≌AOB，從而OA，OB，OC的長都相等；在B中，以O(shè)為原點，OA，OB，OC分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線OB與平面ACD不平行；在C中，直線OD與BC所成的角是90°；在D中，利用向量法得到直線AD與OB所成的角是45°．

解答 解：在A中，∵棱錐D-ABC的各條棱長均為2，OA，OB，OC兩兩垂直，
∴△AOC≌△BOC≌AOB，∴OA，OB，OC的長都相等，故A錯誤；
在B中，以O(shè)為原點，OA，OB，OC分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
O（0，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），A（$\sqrt{2}$，0，0），C（0，0，$\sqrt{2}$），D（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{OB}$=（0，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AC}$=（-$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AD}$=（0，$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），
設(shè)平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-\sqrt{2}x+\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=\sqrt{2}y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{n}$=-$\sqrt{2}$，∴直線OB不平行于平面ACD，故B錯誤；
在C中，$\overrightarrow{OD}$=（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（0，-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），
cos＜$\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{0-2+2}{\sqrt{6}•\sqrt{4}}$=0，∴直線OD與BC所成的角是90°，故C錯誤；
在D中，$\overrightarrow{AD}$=（0，$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），$\overrightarrow{OB}$=（0，$\sqrt{2}，0$），
∴cos＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直線AD與OB所成的角是45°，故D正確．
故選：D．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．