Question

5．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1+cos2x}{{2sin（\frac{π}{2}-x）}}+sinx+{a^2}sin（x+\frac{π}{4}）$
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{5π}{12}$]時(shí)，函數(shù) y=f（x）的最小值為 $1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，試確定常數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=（$\sqrt{2}+{a}^{2}$）sin（x+$\frac{π}{4}$），由x+$\frac{π}{4}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）且$sin（\frac{π}{2}-x）=cosx≠0$，即可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{5π}{12}$]時(shí)，可求x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]，從而可求f（x）最小值為$（\sqrt{2}+{a^2}）×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}{a^2}$，
由已知得$1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}{a^2}$=$1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：$f（x）=\frac{1+cos2x}{{2sin（\frac{π}{2}-x）}}+sinx+{a^2}sin（x+\frac{π}{4}）$
=$\frac{2co{s}^{2}x}{2cosx}$+sinx+a²sin（x+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+a²sin（x+$\frac{π}{4}$）
=（$\sqrt{2}+{a}^{2}$）sin（x+$\frac{π}{4}$），…（5分）
（1）由x+$\frac{π}{4}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）得：x∈[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]（k∈Z），
∵$sin（\frac{π}{2}-x）=cosx≠0$，
∴$x≠kπ+\frac{π}{2}（k∈z）$，
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ-$\frac{π}{2}$），（ 2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]（k∈Z）．…（9分）
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{5π}{12}$]時(shí)，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴當(dāng)x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$時(shí)，函數(shù)y=f（x）取得最小值為$（\sqrt{2}+{a^2}）×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}{a^2}$，
∴由已知得$1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}{a^2}$=$1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴a=±1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．