Question

9．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，C、D分別是兩條棱的中點(diǎn)，A、B、M是頂點(diǎn)，那么M到截面ABCD的距離是$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)BC，AD與過M的正方體的豎直的棱的延長(zhǎng)線交于F．取AB的中點(diǎn)E，連接ME，EF．過M做EF⊥MO，與EF交于O點(diǎn)，利用三角形的面積公式可求得答案．

解答 解：延長(zhǎng)BC，AD與過M的正方體的豎直的棱的延長(zhǎng)線交于F．取AB的中點(diǎn)E，連接ME，EF．過M做EF⊥MO，與EF交于O點(diǎn)．
由題知，ME⊥AB．又因?yàn)锳F=BF，AE=BE；
所以AB⊥EF．
所以AB⊥面EMF．所以AB⊥MO．因?yàn)镸O⊥EF，AB∩EF=O．
所以MO⊥面ABCD．
所以MO是M到面ABCD的距離．
AM=2，推出ME=$\sqrt{2}$，
又D為中點(diǎn)，正方體的棱長(zhǎng)為2，
可求FM=4，
所以EF=$\sqrt{E{M}^{2}+F{M}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
所以MO=$\frac{ME•MF}{EF}$=$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．考查了學(xué)生對(duì)立體幾何知識(shí)的理解和運(yùn)用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．