Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x+a（x＜0）}\\{f（x-1）（x≥0）}\end{array}\right.$，且函數(shù)y=f（x）-x恰有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是[-1，+∞）．

Answer 1

分析 分析函數(shù)f（x），其圖象與y=x的圖象有3個不同的交點，分析f（x）的最值即可確定a的范圍．

解答 解：∵當(dāng)x≥0時，f（x）=f（x-1），
∴f（x）在x≥0的圖象相當(dāng)于在[-1，0）的圖象重復(fù)出現(xiàn)是周期函數(shù)，
x∈[-1，0）時，f（x）=-x²-2x+a=-（x+1）²+a+1，
對稱軸為x=-1，頂點坐標(biāo)為（-1，a+1）．
（1）如果a＜-1，函數(shù)y=f（x）-x至多有2個不同的零點；
（2）如果a=-1，則y有一個零點在區(qū)間（-1，0），有一個零點在（-∞，-1），一個零點在原點；
（3）如果a＞-1，則有一個零點在（-∞，-1），y軸右側(cè)有兩個零點．
故實數(shù)a的取值范圍是[-1，+∞）
故填：[-1，+∞）

點評 本題重點考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查函數(shù)的周期性，有一定難度．