Question

【題目】如圖，已知圓：（）和雙曲線：（），記與軸正半軸、軸負(fù)半軸的公共點(diǎn)分別為、，又記與在第一、第四象限的公共點(diǎn)分別為、.

（1）若，且恰為的左焦點(diǎn)，求的兩條漸近線的方程；

（2）若，且，求實(shí)數(shù)的值；

（3）若恰為的左焦點(diǎn)，求證：在軸上不存在這樣的點(diǎn)，使得.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）依據(jù)圓的方程求出點(diǎn)B坐標(biāo)，進(jìn)而求出，得到雙曲線的漸近線方程；

（2）聯(lián)立圓與雙曲線方程，得到關(guān)于的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出，再根據(jù)建立等式，求出實(shí)數(shù)；（3）先證明出AC的長為定值，再根據(jù)三角不等式說明，這樣的點(diǎn)不存在。

（1）當(dāng)時，圓：，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為，

即有，，故的兩條漸近線的方程為；

（2）當(dāng)時，圓：，：，

聯(lián)立 得，，設(shè)

所以，因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,3），由得

，，解得，所以，

解得，代入，解得，

故。

（3）由題意知，點(diǎn)A的坐標(biāo)是， ，

由得，，

,

所以用求根公式求得 ，

因?yàn)?/span> ，所以，

即，故，又，

故在軸上不存在這樣的點(diǎn)，使得.