Question

18．已知函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），其圖象與直線y=3相鄰兩個交點的距離為$\frac{2π}{3}$，若f（x）＞1對?x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$）恒成立，則φ的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]
• B． [-$\frac{π}{4}$，0]
• C． （-$\frac{π}{3}$，-$\frac{π}{12}$]
• D． [0，$\frac{π}{4}$]

Answer 1

分析 由函數(shù)圖象和題意可得ω=3，進而可得關(guān)于φ的不等式組，解不等式組結(jié)合選項可得．

解答 解：由題意可得函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）+1的最大值為3，
∵f（x）圖象與直線y=3相鄰兩個交點的距離為$\frac{2π}{3}$，
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，解得ω=3，
∴f（x）=2cos（3x+φ）+1，
∵f（x）＞1對?x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$）恒成立，
∴2cos（3x+φ）+1＞1即cos（3x+φ）＞0對?x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$）恒成立，
∴-$\frac{π}{4}$+φ≥2kπ-$\frac{π}{2}$且$\frac{π}{2}$+φ≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
解得φ≥2kπ-$\frac{π}{4}$且φ≤2kπ，即2kπ-$\frac{π}{4}$≤φ≤2kπ，k∈Z．
結(jié)合選項可得當(dāng)k=0時，φ的取值范圍為[-$\frac{π}{4}$，0]，
故選：B．

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的周期性和恒成立，屬中檔題．