Question

8．已知直線x-y+3=0與圓心為（3，4）的圓C相交，截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），且動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比值為常數(shù)k（k＞0）．若動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一條直線，試確定相應(yīng)的k值，并求出該直線的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓心C到直線l的距離，利用截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$求得半徑的值，可得圓C的方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），則由題意可得$\frac{\sqrt{M{C}^{2}-4}}{|MQ|}$=k，即$\frac{\sqrt{（x-3）^{2}+（y-4）^{2}-4}}{\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}}$=k，化簡(jiǎn)可得 （k²-1）•x²+（k²-1）•y²+（6-4k²）x+（8-6k²）y+13k²-9=0，若動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是直線，則k²-1=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）圓心C到直線l的距離為$\frac{|3-4+3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$，
∴半徑為2，
∴圓C：（x-3）²+（y-4）²=4；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），則由題意可得$\frac{\sqrt{M{C}^{2}-4}}{|MQ|}$=k，即$\frac{\sqrt{（x-3）^{2}+（y-4）^{2}-4}}{\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}}$=k，
化簡(jiǎn)可得 （k²-1）•x²+（k²-1）•y²+（6-4k²）x+（8-6k²）y+13k²-21=0，
若動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是直線，則k²-1=0，∴k=1，
直線的方程為x+y-4=0．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，圓的一般式方程，屬于中檔題．