19.已知B1,B2是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$短軸上的兩個端點,O為坐標原點,點A是橢圓長軸上的一個端點,點P是橢圓上異于B1,B2的任意一點,點Q與點P關于y軸對稱,給出以下命題,其中所有正確命題的序號是①④⑤
①當P點的坐標為$(-\frac{2a}{3},\frac{a}{3})$時,橢圓的離心率為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
②直線PB1,PB2的斜率之積為定值$-\frac{a^2}{b^2}$
③$\overrightarrow{P{B_1}}•\overrightarrow{P{B_2}}<0$
④$\frac{{P{B_2}}}{{sin∠P{B_1}{B_2}}}$的最大值為$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a}$
⑤直線PB1,QB2的交點M在雙曲線$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$上.

分析 對5個命題分別進行判斷,即可得出結論.

解答 解:①當P點的坐標為$(-\frac{2a}{3},\frac{a}{3})$時,$\frac{4}{9}+\frac{{a}^{2}}{9^{2}}$=1,∴a=$\sqrt{5}$b,∴c=2b,∴橢圓的離心率為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$,正確;
②設P(x0,y0),則PB1,PB2的斜率之積為$\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}•\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$,因此不正確;
③∵點P在圓x2+y2=b2外,∴x02+y02-b2>0,∴$\overrightarrow{P{B}_{1}}•\overrightarrow{P{B}_{2}}$=(-x0,-b-y0)•(-x0,b-y0)=x02+y02-b2>0,不正確;
④當點P在長軸的頂點上時,∠B1PB2最小且為銳角,設△PB1B2的外接圓半徑為r,由正弦定理可得:2r=$\frac{2b}{sin∠{B}_{1}P{B}_{2}}$≤$\frac{\frac{2b}{2ab}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{a}$,∴$\frac{{P{B_2}}}{{sin∠P{B_1}{B_2}}}$的最大值為$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a}$,正確;
⑤直線PB1的方程為:y+b=$\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}$x,直線QB2的方程為:y-b=$\frac{{y}_{0}-b}{-{x}_{0}}$x,兩式相乘化為$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$,∴直線PB1,QB2的交點M在雙曲線$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$上,∴正確.
故答案為:①④⑤.

點評 本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、斜率計算公式、正弦定理、三角形外接圓半徑、直線相交問題、雙曲線的標準方程,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

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