Question

19．已知B₁，B₂是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$短軸上的兩個端點，O為坐標原點，點A是橢圓長軸上的一個端點，點P是橢圓上異于B₁，B₂的任意一點，點Q與點P關于y軸對稱，給出以下命題，其中所有正確命題的序號是①④⑤
①當P點的坐標為$（-\frac{2a}{3}，\frac{a}{3}）$時，橢圓的離心率為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
②直線PB₁，PB₂的斜率之積為定值$-\frac{a^2}{b^2}$
③$\overrightarrow{P{B_1}}•\overrightarrow{P{B_2}}＜0$
④$\frac{{P{B_2}}}{{sin∠P{B_1}{B_2}}}$的最大值為$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a}$
⑤直線PB₁，QB₂的交點M在雙曲線$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$上．

Answer 1

分析 對5個命題分別進行判斷，即可得出結論．

解答 解：①當P點的坐標為$（-\frac{2a}{3}，\frac{a}{3}）$時，$\frac{4}{9}+\frac{{a}^{2}}{9^{2}}$=1，∴a=$\sqrt{5}$b，∴c=2b，∴橢圓的離心率為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，正確；
②設P（x₀，y₀），則PB₁，PB₂的斜率之積為$\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}•\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，因此不正確；
③∵點P在圓x²+y²=b²外，∴x₀²+y₀²-b²＞0，∴$\overrightarrow{P{B}_{1}}•\overrightarrow{P{B}_{2}}$=（-x₀，-b-y₀）•（-x₀，b-y₀）=x₀²+y₀²-b²＞0，不正確；
④當點P在長軸的頂點上時，∠B₁PB₂最小且為銳角，設△PB₁B₂的外接圓半徑為r，由正弦定理可得：2r=$\frac{2b}{sin∠{B}_{1}P{B}_{2}}$≤$\frac{\frac{2b}{2ab}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{a}$，∴$\frac{{P{B_2}}}{{sin∠P{B_1}{B_2}}}$的最大值為$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a}$，正確；
⑤直線PB₁的方程為：y+b=$\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}$x，直線QB₂的方程為：y-b=$\frac{{y}_{0}-b}{-{x}_{0}}$x，兩式相乘化為$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$，∴直線PB₁，QB₂的交點M在雙曲線$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$上，∴正確．
故答案為：①④⑤．

點評 本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、斜率計算公式、正弦定理、三角形外接圓半徑、直線相交問題、雙曲線的標準方程，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．