16.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且2an=Sn+2.
(Ⅰ)求{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)${b_n}=\frac{n}{a_n}$,求數(shù)列的前n項和Tn

分析 (Ⅰ)求出a1=2.利用Sn-Sn-1,推出關(guān)系式,判斷數(shù)列是等比數(shù)列,求出通項公式.
(Ⅱ)由(Ⅰ)求出${b_n}=\frac{n}{2^n}$,利用錯位相減法求解數(shù)列的和即可.

解答 (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)當(dāng)n=1時,由2a1=S1+2=a1+2,得a1=2.(1分)
當(dāng)n≥2時,由$\left\{\begin{array}{l}2{a_n}={S_n}+2\\ 2{a_{n-1}}={S_{n-1}}+2\end{array}\right.$(3分)
兩式相減并化簡得$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2$,(4分)
所以數(shù)列{an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,故${a_n}={2^n}$.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知${a_n}={2^n}$,所以${b_n}=\frac{n}{2^n}$,(7分)
所以${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n}{2^n}$①(8分)
①式兩邊乘以$\frac{1}{2}$,得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$②(9分)
①-②得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$(10分)
=$\frac{{\frac{1}{2}×[{1-{{({\frac{1}{2}})}^n}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$(11分)
所以${T_n}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}$.(12分)

點評 本題考查數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和的方法,考查計算能力.

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高二學(xué)生日均使用手機時間的頻數(shù)分布表
時間分組頻數(shù)
[0,20)12
[20,40)20
[40,60)24
[60,80)26
[80,100)14
[100,120]4
(Ⅰ)將頻率視為概率,估計哪個年級的學(xué)生是“手機迷”的概率大?請說明理由.
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非手機迷手機迷合計
301545         
451055
合計7525100
附:隨機變量${k^2}=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$(其中n=a+b+c+d為樣本總量).
參考數(shù)據(jù)P(k2≥x00.150.100.050.025
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