Question

6．在平面直角坐標系中，以O為極點，x軸為正半軸建立極坐標系，取相同的長度單位，若曲線C₁的極坐標方程為ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=3，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=-2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）將曲線C₁的極坐標方程化為直角方程，C₂的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）設P是曲線C₁上任一點，Q是曲線C₂上任一點，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由曲線C₁的極坐標方程為$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=3，能求出曲線C₁的直角坐標方程，由cos²θ+sin²θ=1，能求出曲線C₂的普通方程．
（2）曲線C₂：x²+（y+2）²=4是以（0，-2）為圓心，以2為半徑的圓，求出圓心（0，2）到曲線C₁的距離d，由|PQ|的最小值為：d-r，能求出結果．

解答 解：∵曲線C₁的極坐標方程為ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=3，
∴$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=3，
∴曲線C₁的直角坐標方程為$\sqrt{3}x-y+6=0$．
∵曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=-2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴曲線C₂的普通方程為：x²+（y+2）²=4．
（2）∵曲線C₂：x²+（y+2）²=4是以（0，-2）為圓心，以2為半徑的圓，
圓心（0，2）到曲線C₁：$\sqrt{3}x-y+6=0$的距離d=$\frac{|0+2+6|}{\sqrt{3+1}}$=4，
P是曲線C₁上任一點，Q是曲線C₂上任一點，
∴|PQ|的最小值為：d-r=4-2=2．

點評 本題考查曲線的極坐標方程、直角坐標方程、參數(shù)方程、普通方程的互化，考查兩點間距離的最小值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意點到直線距離公式的合理運用．