Question

1．已知某種商品每日的銷售量y（單位：噸）與銷售價格x（單位：萬元/噸，1＜x≤5）滿足：當1＜x≤3時，y=a（x-4）²+$\frac{6}{x-1}$（a為常數(shù)）；當3＜x≤5時，y=kx+7（k＜0），已知當銷售價格為3萬元/噸時，每日可售出該商品4噸，且銷售價格x∈（3，5]變化時，銷售量最低為2噸．
（1）求a，k的值，并確定y關于x的函數(shù)解析式；
（2）若該商品的銷售成本為1萬元/噸，試確定銷售價格x的值，使得每日銷售該商品所獲利潤最大．

Answer 1

分析 （1）利用當銷售價格為3萬元/噸時，每日可售出該商品4噸，求a的值，利用銷售價格x∈（3，5]變化時，銷售量最低為2噸，所以5k+7=2，得k=-1，從而可確定y關于x的函數(shù)解析式；
（2）分類求出函數(shù)的最值，比較結果，即可得到店鋪每日銷售該特產(chǎn)所獲利潤f（x）最大值．

解答 解：（1）因為x=3時，y=4；所以a+3=4，得a=1…（1分）
當3＜x≤5時，y=kx+7（k＜0）在區(qū)間（3，5]單調遞減，當x=5時，y_min=5k+7
因為銷售價格x∈（3，5]變化時，銷售量最低為2噸，所以5k+7=2，得k=-1…（4分）
故y=$\left\{\begin{array}{l}{（x-4）^{2}+\frac{6}{x-1}，1＞x≤3}\\{-x+7，3＜x≤5}\end{array}\right.$…（5分）
（2）由（1）知，當1＜x≤3時，
每日銷售利潤$f（x）=[{（x-4）^2}+\frac{6}{x-1}]（x-1）$=x³-9x²+24x-10（1＜x≤3）…（6分）
f'（x）=3x²-18x+24．                                     …（7分）
令 f'（x）=3x²-18x+24＞0，解得x＞4或x＜2
所以f（x）在[1，2]單調遞增，在[2，3]單調遞減       …（8分）
所以當x=2，f（x）_max=f（2）=10，…（9分）
當3＜x≤5時，每日銷售利潤f（x）=（-x+7）（x-1）=-x²+8x-7=-（x-4）²+9…（10分）
f（x）在x=4時有最大值，且f（x）_max=f（4）=9＜f（2）…（11分）
綜上，銷售價格x=2萬元/噸時，每日銷售該商品所獲利潤最大．               …（12分）

點評 本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的最值，考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．