Question

19．已知函數(shù)f（x）=2^x+$\frac{λ}{{2}^{x}}$（x∈R，λ∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由：
（2）當λ≥4時，判斷函數(shù)g（x）=f（x）-μ（μ∈R）在x∈（-∞，1]上是否至多有一個零點？若是，請給予證明，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)奇偶性的定義，即可討論函數(shù)f（x）的奇偶性：
（2）f（x）=2^x+$\frac{λ}{{2}^{x}}$在x∈（-∞，1]上單調(diào)遞減，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）f（-x）=2^-x+$\frac{λ}{{2}^{-x}}$=λ2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$，
∴λ=1時，f（-x）=f（x），函數(shù)是偶函數(shù)；λ≠1時，函數(shù)非奇非偶；
（2）當λ≥4時，$\sqrt{λ}$≥2，
∵x∈（-∞，1]，
∴f（x）=2^x+$\frac{λ}{{2}^{x}}$在x∈（-∞，1]上單調(diào)遞減，
∴μ≥2+$\frac{λ}{2}$時，函數(shù)g（x）=f（x）-μ有一個零點；μ＜2+$\frac{λ}{2}$時，函數(shù)g（x）=f（x）-μ沒有一個零點．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．