Question

10．已知函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{|x|}}$．
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若e^tf（2t）+mf（t）≥0對(duì)t∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x≤0時(shí)得到f（x）=0而f（x）=2，所以無(wú)解；當(dāng)x＞0時(shí)解出f（x）=2求出x即可；
（2）由 t∈[1，2]時(shí)，e^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=e^t-e^-t，代入得到m的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)x≤0時(shí)f（x）=0，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=e^x-e^-x，
由條件可得，e^x-e^-x=2，
即e^2x-2×e^x-1=0，解得e^x=1±$\sqrt{2}$，∵e^x＞0，
∴e^x=1+$\sqrt{2}$，
∴x=ln（1+$\sqrt{2}$）．
（2）當(dāng)t∈[1，2]時(shí)，e^tf（2t）+mf（t）≥0，
即m（e^2t-1）≥-（e^4t-1）．∵e^2t-1＞0，∴m≥-（e^2t+1）．
∵t∈[1，2]，∴-（1+e^2t）∈[-1-e⁴，-1+e]，
故m的取值范圍是[e-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題．屬于基礎(chǔ)題．恒成立問(wèn)題多需要轉(zhuǎn)化，因?yàn)橹挥型ㄟ^(guò)轉(zhuǎn)化才能使恒成立問(wèn)題等到簡(jiǎn)化；轉(zhuǎn)化過(guò)程中往往包含著多種數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用，同時(shí)轉(zhuǎn)化過(guò)程更提出了等價(jià)的意識(shí)和要求．