Question

3．已知b，c∈R，二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c．
（I）對任意的實數(shù)c，存在x₀∈[-1，2]，使得|f（x₀）|≥5，求正數(shù)b的取值范圍；
（2）若f（x）在（0，1）上與x軸有兩個不同的交點，求c²+（1+b）c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對c分類討論，即可求正數(shù)b的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上與x軸有兩個不同的交點，即函數(shù)f（x）=x²+bx+c的兩個零點為x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜1），即f（0）=c=x₁x₂＞0，f（1）=1+b+c=（1-x₁）（1-x₂）＞0，進而結(jié)合基本不等式可得c（1+b+c）的取值范圍．

解答 解：（1）對任意的實數(shù)c，存在x₀∈[-1，2]，使得|f（x₀）|≥5，則
c≥0時只需要f（2）≥5即可，∴4+2b+c≥5，∴2b＞1，∴b＞$\frac{1}{2}$；
c＜0時只需要f（-1）≤-5即可，∴1-b+c≤-5，∴b≥6；
綜上所述，b≥6；
（2）設(shè)二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的零點為x₁和x₂，且0＜x₁＜x₂＜1，
則：f（0）=c=x₁x₂＞0，
f（1）=1+b+c=（1-x₁）（1-x₂）=1+b+c＞0
f（0）f（1）=c²+bc+c=x₁x₂（1-x₁）（1-x₂）＜$（\frac{{x}_{1}+1-{x}_{1}}{2}）^{2}•（\frac{{x}_{2}+1-{x}_{2}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{16}$，
∴0＜c²+（1+c）b＜$\frac{1}{16}$．

點評 本題考查的知識要點：二次函數(shù)的零點和一元二次方程的根的關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，及相關(guān)的運算是典型的二次函數(shù)最值問題，解題需要靈活運用初等數(shù)學思想，包括數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化且探究意識要強．