Question

11．已知函數(shù)f（x），如果存在給定的實數(shù)對（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b恒成立，則稱f（x）為“Γ-函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f₁（x）=x，${f_2}（x）={3^x}$是否是“Γ-函數(shù)”；
（2）若f₃（x）=tanx是一個“Γ-函數(shù)”，求出所有滿足條件的有序實數(shù)對（a，b）；
（3）若定義域為R的函數(shù)f（x）是“Γ-函數(shù)”，且存在滿足條件的有序實數(shù)對（0，1）和（1，4），當x∈[0，1]時，f（x）的值域為[1，2]，求當x∈[-2016，2016]時函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）假設f₁（x），f₂（x）為Γ-函數(shù)，根據(jù)新定義得出恒等式，判斷恒等式是否成立即可得出結論；
（2）假設f₃（x）為Γ-函數(shù)，列出恒等式，根據(jù)和角的正切公式計算，得出關于x的恒等式解出a，b；
（3）根據(jù)定義列出恒等式，根據(jù)所給條件歸納得出當x∈[2k，2k+2]時，f（x）∈[2^2k，2^2k+2]，從而求的f（x）的值域．

解答 解：（1）若f₁（x）=x是“Γ-函數(shù)”，則存在實數(shù)對（a，b），使得（a+x）（a-x）=b．
即x²=a²-b對x∈R恒成立，而關于x的方程x²=a²-b最多有兩個解，不符合題意．
因此f₁（x）=x不是“Γ-函數(shù)”．
若${f_2}（x）={3^x}$是“Γ-函數(shù)”，則存在實數(shù)對（a，b），使得3^a+x•3^a-x=3^2a=b，
即存在常數(shù)對（a，3^2a）滿足條件，
因此${f_2}（x）={3^x}$是“Γ-函數(shù)”．
（2）∵f₃（x）=tanx是一個“Γ-函數(shù)”，∴存在序實數(shù)對（a，b）滿足tan（a+x）•tan（a-x）=b恒成立，
當$a=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$時，tan（a+x）•tan（a-x）=-cot²x，不是常數(shù)．
∴$a≠kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$．
當$x≠mπ+\frac{π}{2}，m∈Z$時，有$\frac{tana+tanx}{1-tana•tanx}•\frac{tana-tanx}{1+tana•tanx}=\frac{{{{tan}^2}a-{{tan}^2}x}}{{1+{{tan}^2}a•{{tan}^2}x}}=b$恒成立，
即（btan²a-1）tan²x+（tan²a-b）=0恒成立．
則$\left\{{\begin{array}{l}{b{{tan}^2}a-1=0}\\{{{tan}^2}a-b=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{{{tan}^2}a=1}\\{b=1}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=kπ±\frac{π}{4}，k∈Z}\\{b=1}\end{array}}\right.$，
當$x=mπ+\frac{π}{2}，m∈Z$，$a=kπ±\frac{π}{4}，k∈Z$時，tan（a+x）•tan（a-x）=cot²a=1成立．
因此滿足f₃（x）=tanx是一個“Γ-函數(shù)”時，實數(shù)對$（a，b）=（kπ±\frac{π}{4}，1）（k∈Z）$．
（3）函數(shù)f（x）是“Γ-函數(shù)”，且存在滿足條件的有序實數(shù)對（0，1）和（1，4），
∴f（x）•f（-x）=1，f（1+x）•f（1-x）=4，
∵f（1+x）•f（1-x）=4?f（x）•f（2-x）=4，x∈[1，2]時，2-x∈[0，1]，f（2-x）∈[1，2]，$f（x）=\frac{4}{f（2-x）}∈[2，4]$，
∴x∈[0，2]時，f（x）∈[1，4]，
$\left\{{\begin{array}{l}{f（x）•f（-x）=1}\\{f（1+x）•f（1-x）=4}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{f（-x）=\frac{1}{f（x）}}\\{f（-x）=\frac{4}{f（2+x）}}\end{array}}\right.⇒f（x+2）=4f（x）$，
∴x∈[2，4]時，f（x）∈[4，16]，x∈[4，6]時，f（x）∈[16，64]，…
以此類推可知：x∈[2k，2k+2]時，f（x）∈[2^2k，2^2k+2]，
∴當x∈[2014，2016]時，f（x）∈[2²⁰¹⁴，2²⁰¹⁶]，
因此x∈[0，2016]時，f（x）∈[1，2²⁰¹⁶]，x∈[-2016，0]時，$f（x）=\frac{1}{f（-x）}，-x∈[0，2016]，f（-x）∈[1，{2^{2016}}]⇒f（x）∈[{2^{-2016}}，1]$，
綜上可知當x∈[-2016，2016]時函數(shù)f（x）對的值域為[2^-2016，2²⁰¹⁶]．

點評 本題考查了對新定義的理解，函數(shù)的性質應用，函數(shù)值域的求法，屬于中檔題．