Question

9．設(shè)函數(shù)y=lnx的反函數(shù)為y=g（x），函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{e}$•g（x）-$\frac{1}{3}$x³-x²（x∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）求y=f（x）在[-1，2ln3]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得g（x）=e^x，從而化簡f（x）=x²•e^x-1-$\frac{1}{3}$x³-x²，再求導(dǎo)f′（x）=（2x+x²）•e^x-1-x²-2x=x（x+2）（e^x-1-1），由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)y=f（x）在[-1，0）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2ln3]上是增函數(shù)；從而比較f（-1）與f（1）的大小即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意，g（x）=e^x，f（x）=x²•e^x-1-$\frac{1}{3}$x³-x²，
∴f′（x）=（2x+x²）•e^x-1-x²-2x=x（x+2）（e^x-1-1），
令f′（x）=0得，
x=-2或x=0或x=1；
故當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（0，1）時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（-2，0）∪（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
故函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-2，0）和（1，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-2）和（0，1）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
函數(shù)y=f（x）在[-1，0）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)，
在（1，2ln3]上是增函數(shù)，
且f（-1）=$\frac{1}{{e}^{2}}$-$\frac{2}{3}$＜0，f（1）=-$\frac{1}{3}$＞f（-1）；
故y=f（x）在[-1，2ln3]上的最小值為$\frac{1}{{e}^{2}}$-$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了反函數(shù)的定義，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及化簡求值，屬于中檔題．