Question

8．如果數(shù)列A：a₁，a₂，…，a_m（m∈Z，且m≥3），滿足：①a_i∈Z，$-\frac{m}{2}≤{a_i}≤\frac{m}{2}$（i=1，2，…，m）；②a₁+a₂+…+a_m=1，那么稱數(shù)列A為“Ω”數(shù)列．
（Ⅰ）已知數(shù)列M：-2，1，3，-1；數(shù)列N：0，1，0，-1，1．試判斷數(shù)列M，N是否為“Ω”數(shù)列；
（Ⅱ）是否存在一個等差數(shù)列是“Ω”數(shù)列？請證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）如果數(shù)列A是“Ω”數(shù)列，求證：數(shù)列A中必定存在若干項之和為0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)定義直接判斷即可得解．
（Ⅱ）假設(shè)存在等差數(shù)列是“Ω”數(shù)列，由a₁+a₂+…+a_m=1，得a₁+am=$\frac{2}{m}$∉Z，與a_i∈Z矛盾，從而可證不存在等差數(shù)列為“Ω”數(shù)列．
（Ⅲ）將數(shù)列A按以下方法重新排列：設(shè)S_n為重新排列后所得數(shù)列的前n項和（n∈Z且1≤n≤m），任取大于0的一項作為第一項，則滿足-$\frac{m}{2}$+1≤S₁≤$\frac{m}{2}$，然后利用反證法，證明即可．

解答 （本小題共13分）
解：（Ⅰ）數(shù)列M不是“Ω”數(shù)列；數(shù)列N是“Ω”數(shù)列．               …（2分）
（Ⅱ）不存在一個等差數(shù)列是“Ω”數(shù)列．
證明：假設(shè)存在等差數(shù)列是“Ω”數(shù)列，
則由a₁+a₂+…+a_m=1  得a₁+am=$\frac{2}{m}$∉Z，與a_i∈Z矛盾，
所以假設(shè)不成立，即不存在等差數(shù)列為“Ω”數(shù)列．            …（7分）
（Ⅲ）將數(shù)列A按以下方法重新排列：
設(shè)S_n為重新排列后所得數(shù)列的前n項和（n∈Z且1≤n≤m），
任取大于0的一項作為第一項，則滿足-$\frac{m}{2}$+1≤S₁≤$\frac{m}{2}$，
假設(shè)當(dāng)2≤n≤m時，$-\frac{m}{2}+1≤{S_{n-1}}≤\frac{m}{2}$
若S_n-1=0，則任取大于0的一項作為第n項，可以保證-$\frac{m}{2}$+1≤S_n≤$\frac{m}{2}$，
若S_n-1≠0，則剩下的項必有0或與S_n-1異號的一項，否則總和不是1，
所以取0或與S_n-1異號的一項作為第n項，可以保證-$\frac{m}{2}$+1≤S_n≤$\frac{m}{2}$．
如果按上述排列后存在S_n=0成立，那么命題得證；
否則S₁，S₂，…，S_m這m個整數(shù)只能取值區(qū)間[-$\frac{m}{2}$+1，$\frac{m}{2}$]內(nèi)的非0整數(shù)，
因為區(qū)間[-$\frac{m}{2}$+1，$\frac{m}{2}$]內(nèi)的非0整數(shù)至多m-1個，所以必存在S_i=S_j（1≤i＜j≤m），
那么從第i+1項到第j項之和為S_i-S_j=0，命題得證．
綜上所述，數(shù)列A中必存在若干項之和為0．              …（13分）

點評 本題主要考查了新定義和數(shù)列的應(yīng)用，解答新定義的試題的關(guān)鍵是把題目中的定義轉(zhuǎn)化已經(jīng)學(xué)過的知識進行解決，屬于中檔題．