Question

5．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為3，則以A為球心，2$\sqrt{3}$為半徑的球被正方體的各面所截得的弧長之和為$\frac{5\sqrt{3}}{2}$π．

Answer 1

分析 球面與正方體的六個面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的三個面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；另一類在不過頂點A的三個面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．由空間幾何知識能求出這兩段弧的長度之和，從而求出球面與正方體的各個表面相交所得到的弧長之和．

解答 解：如圖，球面與正方體的六個面都相交，
所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的三個面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；
另一類在不過頂點A的三個面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．
在面AA₁B₁B上，交線為弧EF且在過球心A的大圓上，因為AE=2$\sqrt{3}$，AA₁=3，
則∠A₁AE=$\frac{π}{6}$．同理∠BAF=$\frac{π}{6}$，所以∠EAF=$\frac{π}{6}$，
故弧EF的長為：2$\sqrt{3}$×$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}π$，
而這樣的弧共有三條．
在面BB₁C₁C上，交線為弧FG且在距球心為3的平面與球面相交所得的小圓上，
此時，小圓的圓心為B，半徑為$\sqrt{3}$，∠FBG=$\frac{π}{2}$，
所以弧FG的長為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$π．
這樣的弧也有三條．于是，所得的曲線長為：3×$\frac{\sqrt{3}}{3}π$+3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$π=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$π．
故答案為：$\frac{5\sqrt{3}}{2}$π．

點評 本題主要考查了立體幾何，以及弧長公式的運用，同時考查了空間想象能力，屬于中檔題．