Question

4．如圖，平面DCBE⊥平面ABC，四邊形DCBE為矩形，且BC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$AC，F(xiàn)、G分別為AD、CE的中點．
（1）求證：FG∥平面ABC；
（2）求證：平面ABE⊥平面ACD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行證明FG∥平面ABC；
（2）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ABE⊥平面ACD．

解答 證明：（1）連接BD．因為四邊形DCBE為矩形，且G為CE的中點，
所以BD∩CE=G，且G為線段BD的中點．…（2分）
又因為F為AD的中點，所以FG為△DAB的中位線．
所以FG∥AB．…（4分）
又因為FG?平面ABC，AB?平面ABC，
所以FGP∥平面ABC．…（5分）
（2）因為DCBE為矩形，所以DC⊥CB．
又因為平面DCBE⊥平面ABC，
平面DCBE∩平面ABC=BC，DC?平面DCBE，
所以DC⊥平面ABC．…（7分）
所以DC⊥AB．…（8分）
因為BC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$AC，所以AB=AC，且AB²+AC²=BC²．
所以∠BAC=90°，即AB⊥AC．…（10分）
又因為AC∩DC=C，AC?平面ACD，DC?平面ACD，
所以AB⊥平面ACD．…（11分）
又AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面ACD．…12

點評 本題主要考查空間直線和平面平行和垂直的判定，利用相應(yīng)的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．