Question

3．設大于0的實數(shù)x，y滿足xy=1，則$\frac{{{{（x+y）}^3}-（{x^3}+{y^3}）}}{{{{（x+y）}^4}-（{x^4}+{y^4}）}}$的最大值為$\frac{3}{7}$．

Answer 1

分析 變形可得原式=$\frac{3}{4（x+y）-\frac{2}{x+y}}$，令t=x+y≥2$\sqrt{xy}$=2，由函數(shù)的單調(diào)性可得．

解答 解：大于0的實數(shù)x，y滿足xy=1，
∴$\frac{{{{（x+y）}^3}-（{x^3}+{y^3}）}}{{{{（x+y）}^4}-（{x^4}+{y^4}）}}$=$\frac{{x}^{3}+3{x}^{2}y+3x{y}^{2}+{y}^{3}-{x}^{3}-{y}^{3}}{{x}^{4}+4{x}^{3}y+6{x}^{2}{y}^{2}+4x{y}^{3}+{y}^{4}-{x}^{4}-{y}^{4}}$
=$\frac{3xy（x+y）}{2xy（2{x}^{2}+3xy+2{y}^{2}）}$=$\frac{3（x+y）}{2（2{x}^{2}+2{y}^{2}+3）}$=$\frac{3（x+y）}{4（{x}^{2}+{y}^{2}）+6}$
=$\frac{3（x+y）}{4（x+y）^{2}-2}$=$\frac{3}{4（x+y）-\frac{2}{x+y}}$，
令t=x+y，則x+y≥2$\sqrt{xy}$=2，
由函數(shù)z=4t-$\frac{2}{t}$在（2，+∞）單調(diào)遞增可知
當t=x+y=2時，z=4t-$\frac{2}{t}$取最小7，
∴原式取最大值$\frac{3}{7}$
故答案為：$\frac{3}{7}$．

點評 本題考查基本不等式求最值，準確變形是解決問題的關鍵，屬中檔題．