Question

10．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的短軸的一個端點B與兩焦點F₁，F(xiàn)₂組成三角形的周長為8+8$\sqrt{2}$，且F₁B⊥F₂B，求橢圓方程．

Answer 1

分析 當(dāng)橢圓的焦點在x軸上，設(shè)橢圓的焦點為（±c，0），由題意可得，2a+2c=8+8$\sqrt{2}$，2c=$\sqrt{2}$a，解方程可得a，c，再由a，b，c的關(guān)系，計算即可得到所求方程，同理可得焦點在y軸上的方程．

解答 解：當(dāng)橢圓的焦點在x軸上，設(shè)橢圓的焦點為（±c，0），
由題意可得，2a+2c=8+8$\sqrt{2}$，
2c=$\sqrt{2}$a，
解方程可得a=4$\sqrt{2}$，c=4，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=4，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{32}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
當(dāng)橢圓的焦點在y軸上，設(shè)橢圓的焦點為（0，±c），
由題意可得2b+2c=8+8$\sqrt{2}$，
2c=$\sqrt{2}$b，
解方程可得b=4$\sqrt{2}$，c=4，a=$\sqrt{^{2}-{c}^{2}}$=4，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1．
綜上可得，橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{32}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1或$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的性質(zhì)和方程思想，考查運算能力，屬于中檔題．