20.如圖,三棱錐C-ABD的棱AB在平面α內(nèi),棱CD在平面α外,平面CAB⊥平面α,點(diǎn)D在平面α內(nèi)的射影為E,且滿(mǎn)足EA⊥EB,AC=BC=EA=EB=2,DE=2$\sqrt{2}$.
(1)求證:AE∥平面BCD;
(2)求二面角E-CD-B的正弦值.

分析 (1)延長(zhǎng)DC交平面α于F,連接AF,BF,EF,AB相交于G,利用線(xiàn)面平行的判定定理進(jìn)行證明即可.
(2)建立空間坐標(biāo)系,利用向量法進(jìn)行求解即可.

解答 (1)證明:延長(zhǎng)DC交平面α于F,連接AF,BF,EF,AB相交于G,
∵EA⊥EB,AC=BC=EA=EB,
∴△AEB≌△ACB,
則∠ACB=∠AEB=90°,
則AC⊥BC,
∵D在平面α內(nèi)的射影為E,
∴DE⊥面ABE,
∵平面CAB⊥平面α,
∴DE∥平面CAB,
∵平面DEF∩平面ACB=CG,
∴DE∥CG,
∵AC=BC,∴G是AB的中點(diǎn),
則四邊形AEBF為正方形,則AE∥BF,
∵AE?平面BCD;BF?平面BCD;
∴AE∥平面BCD;
(2)建立以E為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系如圖:
∵AC=BC=EA=EB=2,DE=2$\sqrt{2}$.
∴A(2,0,0),E(0,0,0),B(0,2,0),D(0,0,2$\sqrt{2}$),
G(1,1,0),F(xiàn)(2,2,0),
則$\overrightarrow{AG}$=(-1,1,0)為平面CED的一個(gè)法向量,
設(shè)$\overrightarrow{m}$=(x,y,z)是平面CDB即平面DFB的法向量,
則$\overrightarrow{DF}$=(2,2,-2$\sqrt{2}$),$\overrightarrow{BF}$=(2,0,0),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=2x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DF}=2x+2y-2\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=\sqrt{2}z}\end{array}\right.$,令z=1,則y=$\sqrt{2}$,
即$\overrightarrow{m}$=(0,$\sqrt{2}$,1),
則cos<$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{AG}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AG}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{AG}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}•\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
則sin<$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{AG}$>=$\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}}=\sqrt{1-\frac{3}{9}}=\sqrt{\frac{6}{9}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
即二面角E-CD-B的正弦值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線(xiàn)面平行的證明以及空間角的求解,根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法是解決空間角常用的方法,考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力,綜合性較強(qiáng),難度較大.

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