Question

20．如圖，三棱錐C-ABD的棱AB在平面α內(nèi)，棱CD在平面α外，平面CAB⊥平面α，點D在平面α內(nèi)的射影為E，且滿足EA⊥EB，AC=BC=EA=EB=2，DE=2$\sqrt{2}$．
（1）求證：AE∥平面BCD；
（2）求二面角E-CD-B的正弦值．

Answer 1

分析 （1）延長DC交平面α于F，連接AF，BF，EF，AB相交于G，利用線面平行的判定定理進行證明即可．
（2）建立空間坐標系，利用向量法進行求解即可．

解答 （1）證明：延長DC交平面α于F，連接AF，BF，EF，AB相交于G，
∵EA⊥EB，AC=BC=EA=EB，
∴△AEB≌△ACB，
則∠ACB=∠AEB=90°，
則AC⊥BC，
∵D在平面α內(nèi)的射影為E，
∴DE⊥面ABE，
∵平面CAB⊥平面α，
∴DE∥平面CAB，
∵平面DEF∩平面ACB=CG，
∴DE∥CG，
∵AC=BC，∴G是AB的中點，
則四邊形AEBF為正方形，則AE∥BF，
∵AE?平面BCD；BF?平面BCD；
∴AE∥平面BCD；
（2）建立以E為坐標原點的空間直角坐標系如圖：
∵AC=BC=EA=EB=2，DE=2$\sqrt{2}$．
∴A（2，0，0），E（0，0，0），B（0，2，0），D（0，0，2$\sqrt{2}$），
G（1，1，0），F(xiàn)（2，2，0），
則$\overrightarrow{AG}$=（-1，1，0）為平面CED的一個法向量，
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面CDB即平面DFB的法向量，
則$\overrightarrow{DF}$=（2，2，-2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BF}$=（2，0，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=2x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DF}=2x+2y-2\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=\sqrt{2}z}\end{array}\right.$，令z=1，則y=$\sqrt{2}$，
即$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{2}$，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AG}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AG}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{AG}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}•\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AG}$＞=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\sqrt{1-\frac{3}{9}}=\sqrt{\frac{6}{9}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
即二面角E-CD-B的正弦值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題主要考查線面平行的證明以及空間角的求解，根據(jù)條件建立空間直角坐標系，利用向量法是解決空間角常用的方法，考查學生的運算和推理能力，綜合性較強，難度較大．