Question

20．已知兩個(gè)非零平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足：對(duì)任意λ∈R恒有|$\overrightarrow{a}$-$λ\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow$|，則：
①若|$\overrightarrow$|=8，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=32；
②若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{6}$，則$\frac{|2\overrightarrow{a}+t•\overrightarrow|}{|\overrightarrow|}$的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）對(duì)|$\overrightarrow{a}$-$λ\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow$|兩邊平方，轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ的二次函數(shù)恒成立問(wèn)題，根據(jù)判別式得出；
（2）將$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|代入恒等式得出|$\overrightarrow{a}$|和|$\overrightarrow$|的關(guān)系，將所求式子兩邊平方得到關(guān)于t的函數(shù)，求出該函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$-$λ\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow$|，∴$\overrightarrow{a}$²-2λ$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+λ²$\overrightarrow$²≥$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow$²，
∴64λ²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$λ+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-16≥0對(duì)任意λ恒成立．
∴（2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$）²-256（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-16）≤0，即（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-32）²≤0．∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=32．
（2）∵|$\overrightarrow{a}$-$λ\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow$|，∴$\overrightarrow{a}$²-2λ$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+λ²$\overrightarrow$²≥$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow$²，即λ²$\overrightarrow$²-2λ$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow$²≥0恒成立，
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|，∴λ²|$\overrightarrow$|²-$\sqrt{3}$λ|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|+$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|-$\frac{1}{4}$|$\overrightarrow$|²≥0恒成立．
∴3|$\overrightarrow{a}$|²|$\overrightarrow$|²-4|$\overrightarrow$|²（$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|-$\frac{1}{4}$|$\overrightarrow$|²）≤0，∴3|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²≤2$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|，
又∵3|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²≥2$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|，當(dāng)且僅當(dāng)|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|時(shí)取等號(hào)．
∴|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|=$\frac{3}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²，
∴$（\frac{2\overrightarrow{a}+t\overrightarrow}{|\overrightarrow|}）^{2}$=$\frac{4|\overrightarrow{a}{|}^{2}+4t\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{t}^{2}|\overrightarrow{|}^{2}}{|\overrightarrow{|}^{2}}$=t²+2t+$\frac{4}{3}$=（t+1）²+$\frac{1}{3}$．
∴當(dāng)t=-1時(shí)，$（\frac{2\overrightarrow{a}+t\overrightarrow}{|\overrightarrow|}）^{2}$取得最小值$\frac{1}{3}$，∴$\frac{|2\overrightarrow{a}+t•\overrightarrow|}{|\overrightarrow|}$的最小值為$\sqrt{\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為32，$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，二次函數(shù)恒成立問(wèn)題，二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．