Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{3}{2}$，且a_n+1=3a_n-1，b_n=a_n-$\frac{1}{2}$．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（2）若不等式$\frac{_{n}+1}{_{n+1}-1}$≤m對?n∈N^*恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a_n+1-$\frac{1}{2}$=3（a_n-$\frac{1}{2}$），即為b_n+1=3b_n，由等比數(shù)列的定義即可得證；
（2）運用等比數(shù)列的通項公式，可得b_n=3^n-1，由題意可得m≥$\frac{{3}^{n-1}+1}{{3}^{n}-1}$的最大值，求得f（n）=$\frac{{3}^{n-1}+1}{{3}^{n}-1}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{4}{3（{3}^{n}-1）}$，為遞減數(shù)列，可得最大值，進而得到m的范圍．

解答 解：（1）證明：a_n+1=3a_n-1，
可得a_n+1-$\frac{1}{2}$=3（a_n-$\frac{1}{2}$），
即為b_n+1=3b_n，
則數(shù)列{b_n}是首項為a₁-$\frac{1}{2}$=1，3為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得b_n=3^n-1，
不等式$\frac{_{n}+1}{_{n+1}-1}$≤m對?n∈N^*恒成立，即有
m≥$\frac{{3}^{n-1}+1}{{3}^{n}-1}$的最大值，
由f（n）=$\frac{{3}^{n-1}+1}{{3}^{n}-1}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{4}{3（{3}^{n}-1）}$，
由3ⁿ遞增，可得f（n）遞減，
即有f（1）取得最大值1，
則m≥1，即有m的范圍是[1，+∞）．

點評 本題考查等比數(shù)列的定義和通項公式的運用，注意運用構(gòu)造法，考查數(shù)列不等式恒成立問題的解法，注意運用單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．