Question

19．已知sinα+cosα=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$（0＜α＜π），則cos2α的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 sinα+cosα=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$（0＜α＜π），兩邊平方，化簡整理得出，2sinαcosα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜0，判斷出sinα＞0，所以cosα＜0．cosα-sinα＜0，整體求出cosα-sinα，再利用二倍角余弦公式求解．

解答 解：∵sinα+cosα=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$（0＜α＜π），兩邊平方，得出1+2sinαcosα=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，
∴2sinαcosα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜0，
∵0＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0．cosα-sinα＜0，
∴（cosα-sinα）²=1-2sinαcosα=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cosα-sinα=-$\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
∴cos2α=cos²α-sin²α=（cosα-sinα）（sinα+cosα）=（-$\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{4}}$）×$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{\frac{（\sqrt{3}+1）^{2}}{4}}$×$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本小題主要考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用和二倍角公式的應(yīng)用．應(yīng)用三角函數(shù)公式時，要恰當(dāng)選擇，靈活應(yīng)用，選擇恰當(dāng)可以達到事半功倍的作用，屬于中檔題．