Question

4．已知在鈍角△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且該三角形的外接圓的面積為4π
（1）若a=2$\sqrt{3}$，b=2，求△ABC的面積
（2）若a=2$\sqrt{3}$，求b²+c²的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，則πR²=4π，可得：R=2，由正弦定理可得sinA，sinB，結(jié)合三角形為鈍角三角形，可得C，利用三角形面積公式即可得解．
（2）由正弦定理可得sinA，cosA，由余弦定理可得：b²+c²=12+bc①，或b²+c²=12-bc②，利用基本不等式可求bc≤4，可得b²+c²≥8，即可得解．

解答 解：（1）設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，則πR²=4π，可得：R=2，
∵a=2$\sqrt{3}$，b=2，
∴由正弦定理可得：$\frac{2\sqrt{3}}{sinA}=\frac{2}{sinB}=2R=4$，解得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinB=$\frac{1}{2}$，
∵a＞b，B為銳角，可得：B=$\frac{π}{6}$．A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
∴當(dāng)A=$\frac{π}{3}$時(shí)，C=π-A-B=$\frac{π}{2}$（三角形為鈍角三角形，故舍去）
當(dāng)A=$\frac{2π}{3}$時(shí)，C=π-A-B=$\frac{π}{6}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2×\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$．
（2）∵a=2$\sqrt{3}$，設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，則πR²=4π，可得：R=2，
∴由正弦定理可得：$\frac{2\sqrt{3}}{sinA}=2R=4$，解得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosA=$±\frac{1}{2}$
∴由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，可得：b²+c²=12+bc①，或b²+c²=12-bc②，
∵b²+c²≥2bc，
∴由①可得：bc≤12，可得：b²+c²≤24，
由②可得：bc≤4，可得b²+c²≥8，
∴b²+c²的最小值為8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，基本不等式的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．