Question

7．四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD為正方形，AB=PA=2，M，N分別為PA，PB的中點，則MD與AN所成角的余弦值為$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出MD與AN所成角的余弦值．

解答 解：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
由題意得A（0，0，0），N（2，1，0），
M（0，0，1），D（0，2，0），
$\overrightarrow{AN}$=（2，1，0），$\overrightarrow{MD}$=（0，2，-1），
設MD與AN所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{MD}|}{|\overrightarrow{AN}|•|\overrightarrow{MD}|}$=$\frac{|2|}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$．
∴MD與AN所成角的余弦值為$\frac{2}{5}$．
故答案為：$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．