Question

15．如圖，有一景區(qū)的平面圖是一個(gè)半圓形，其中O為圓心，直徑AB的長(zhǎng)為2km，C，D兩點(diǎn)在半圓弧上，且BC=CD，設(shè)∠COB=θ；
（1）當(dāng)$θ=\frac{π}{12}$時(shí)，求四邊形ABCD的面積．
（2）若要在景區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條由線段AB，BC，CD和DA組成的觀光道路，則當(dāng)θ為何值時(shí)，觀光道路的總長(zhǎng)l最長(zhǎng)，并求出l的最大值．

Answer 1

分析 （1）連接OD，則∠COD=$\frac{π}{12}$，∠AOD=$\frac{5}{6}$π，即可求出四邊形ABCD的面積；
（2）利用余弦定理求出BC，CD，DA，可得l，利用換元、配方法，即可得出結(jié)論

解答 解：（1）連接OD，則∠COD=$\frac{π}{12}$，∠AOD=$\frac{5}{6}$π，∴四邊形ABCD的面積為2×$\frac{1}{2}$×1×1×sin$\frac{π}{12}$+$\frac{1}{2}$×1×1×sin$\frac{5}{6}$π=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$+$\frac{1}{4}$；
（2）由題意，BC=CD=$\sqrt{2-2cosθ}$=2sin$\frac{θ}{2}$，DA=$\sqrt{2+2cos2θ}$=2cosθ，
∴l(xiāng)=2+4sin$\frac{θ}{2}$+2cosθ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
令t=sin$\frac{θ}{2}$，則（0＜t＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$），l=-4（t-$\frac{1}{2}$）²+5，
∴t=$\frac{1}{2}$時(shí)，即θ=$\frac{π}{3}$，l的最大值為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．