Question

2．函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x+5}$+$\sqrt{{x}^{2}+6x+10}$的最小值．

Answer 1

分析 由配方可得函數(shù)表示f（x）表示P（x，0）到兩點(diǎn)A（1，2），B（-3，1）的距離之和．作出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'（1，-2），連接A'B，交x軸于P，運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短，由兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可得到．

解答 解函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x+5}$+$\sqrt{{x}^{2}+6x+10}$
=$\sqrt{（x-1）^{2}+{2}^{2}}$+$\sqrt{（x+3）^{2}+{1}^{2}}$，
設(shè)點(diǎn)P（x，0），A（1，2），B（-3，1），
則f（x）表示P到兩點(diǎn)A，B的距離之和．
作出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'（1，-2），
連接A'B，交x軸于P，
則||PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|=$\sqrt{（1+3）^{2}+（-2-1）^{2}}$=5，
則當(dāng)A，P，B'三點(diǎn)共線，取得最小值5，
則函數(shù)f（x）的最小值為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用幾何方法：對(duì)稱法，兩點(diǎn)間的距離公式，屬于中檔題．