Question

10．已知函數f（x）=x³-bx²-4，x∈R，則下列命題正確的是（　　）

• A． 當b＞0時，?x₀＜0，使得f（x₀）=0
• B． 當b＜0時，?x＜0，都有f（x）＜0
• C． f（x）有三個零點的充要條件是b＜-3
• D． f（x）在區(qū)間（0．+∞）上有最小值的充要條件是b＜0

Answer 1

分析 令f（x）=0，得到矛盾，判斷A錯誤，令b=-6，x=-1，求出f（-1）＞0，得到矛盾，判斷B錯誤；求出函數的導數，通過討論b的符號結合函數的單調性判斷C正確，D錯誤．

解答 解：對于A：令f（x）=0，得：x³-bx²-4=0，
∴x²（x-b）=4，∴x²=$\frac{4}{x-b}$①，
若b＞0，x₀＜0，則x₀-b＜0，方程①無解，
故選項A錯誤；
對于B：若b＜0，?x＜0，不妨令b=-6，x=-1，
則f（-1）=-1-（-6）×1-4=1＞0，
故選項B錯誤；
對于C：f′（x）=3x²-2bx=x（3x-2b），
b＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2b}{3}$或x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）遞增，在（0，$\frac{2b}{3}$）遞減，在（$\frac{2b}{3}$，+∞）遞增，
∴x=0是極大值點，此時f（0）=-4，函數f（x）只有1個零點，
故b＞0不合題意，
b＜0時：令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{2b}{3}$或x＞0，
∴f（x）在（-∞，$\frac{2b}{3}$）遞增，在（$\frac{2b}{3}$，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
∴x=$\frac{2b}{3}$是極大值點，若f（x）有三個零點，只需f（$\frac{2b}{3}$）＞0，
解得：b＜-3，故選項C正確；
對于D：由選項C得：若b＜0，
則f（x）在（0，+∞）遞增，
而函數f（x）無最小值，故D錯誤，
故選：C．

點評 本題考察了函數的單調性問題，考察導數的應用，函數的零點問題，是一道中檔題．