Question

17．設(shè)f（x）=x²-2ax-a²-$\frac{3}{4}$，若對(duì)任意的x∈[0，1]，均有|f（x）|≤1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得，二次函數(shù)的對(duì)稱軸是x=a，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，由a與區(qū)間[0，1]的關(guān)系可得出f（x）在[0，1]內(nèi)的最大值與最小值，可由最值的絕對(duì)值小于等于1，求得a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=（x-a）²-2a²-$\frac{3}{4}$，
∴f（x）的對(duì)稱軸為x=a，開口方向向上，
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）_min=f（0）=-a²-$\frac{3}{4}$，f（x）_max=f（1）=-a²-2a+$\frac{1}{4}$，
∵|f（x）|≤1，
則|f（0）|≤1，得：-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$…①
|f（1）|≤1，得：-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$或-$\frac{5}{2}$≤a≤-$\frac{3}{2}$…②，
∴a的取值范圍是-$\frac{1}{2}$≤a≤0；
（2）當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）_min=f（1）=-a²-2a+$\frac{1}{4}$，f（x）_max=f（0）=-a²-$\frac{3}{4}$
由①，②得：a在此區(qū)間無取值范圍；
（3）當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）_min=f（a）=-2a²-$\frac{3}{4}$，f（x）_max=f（1）=-a²-2a+$\frac{1}{4}$，
|f（a）|≤1，得-$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤a≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$…③
由②，③得：0＜a≤$\frac{1}{2}$
（4）當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜1時(shí)，f（x）_min=f（a）=-2a²-$\frac{3}{4}$，f（x）_max=f（0）=-a²-$\frac{3}{4}$，
由①，③得：a在此區(qū)間無取值范圍，
綜上所述，-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$，
故答案為-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一元二次不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)圖象是特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合解決問題．