Question

3．已知直線l的方程為mx-y+1-m=0，圓C的方程為x²+（y-1）²=5．
（Ⅰ）證明：直線l與圓C相交；
（Ⅱ）設直線l與圓C交于兩點A，B，求弦AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定直線l恒過定點（1，1），定點（1，1）在圓內，即可證明直線l與圓C相交；
（Ⅱ）設AB中點M（x，y），當AB斜率存在時，由K_AB•K_CM=-1，可得$\frac{y-1}{x-1}•\frac{y-1}{x-0}$=-1，化簡可得AB中點M的軌跡方程；當AB的斜率不存在時，點M的坐標也滿足此軌跡方程，從而得出結論．

解答 （Ⅰ）證明：∵直線l的方程為mx-y+1-m=0，
∴m（x-1）-y+1=0，
令x-1=0，-y+1=0，∴x=1，y=1，
∴直線l恒過定點（1，1），
∴1²+（1-1）²=1＜5，
∴定點（1，1）在圓內，
∴直線l與圓C相交；
（Ⅱ）設AB中點M（x，y），當AB的斜率存在時，由題意可得CM⊥AB，故有K_AB•K_CM=-1．
∴$\frac{y-1}{x-1}•\frac{y-1}{x-0}$=-1，化簡可得（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$，
即AB中點M的軌跡方程為（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．
當AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x=1，此時AB的中點M的坐標為（1，1），
也滿足（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．
綜上可得，AB中點M的軌跡方程為（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系的判定，直線過定點問題，求點的軌跡方程，屬于中檔題．